ინტეგრირებული გაკვეთილი მათემატიკაში, ინფორმატიკასა და ისტ-ში

ჩავატარე ინტეგრირებული გაკვეთილი მათემატიკაში, ეკონომიკაში და ისტ-ში:

გაკვეთილის      სათაური

მარტივი და რთული პროცენტის დარიცხვის წესები. მაჩვენებლიანი ფუნქცია.  (გეგმა)

გაკვეთილის თემა	მარტივი და რთული პროცენტის დარიცხვის წესები. მაჩვენებლიანი ფუნქცია.
სწავლების საფეხური და კლასი	მესამე საფეხური (საბაზო)_ XI კლასი
ინტეგრირებული საგნები, მასწავლებლის სახელი და გვარი	მათემატიკა_ ლეილა ხმიადაშვილი,   ეკონომიკა _  ციური  დურული. და  ისტ _ლეილა ხმიადაშვილი,
მოსწავლეთა რაოდენობა	21 მოსწავლე
განსაკუთრებული მიდგომების,  საჭიროების მქონე მოსწავლეთა და პროფილი	0
გაკვეთილის საწავლო  მიზნები(საგნების მიხედვით)	მოსწავლეთა გარკვევა ბანკში ანაბარზე სარგებლის (დივიდენდის) დარიცხვის ზოგიერთ წესში. სარგებლის დარიცხვის სხვადასხვა წესს შორის არჩევანის გაკეთებისას სწორი ანალიზის უნარის გამომუშავება. სხვადასხვა ბანკის მიერ შემოთავაზებული წინადადებების შედარებითი ანალიზის უნარ_ჩვევების გამომუშავება. კერძო შემთხვევის განზოგადების ჩვევების გამომუშავება                 y = 2x     ფუნქციის თვისებების შესწავლის საფუძველზე                                                                                                                                               გამოვთქვამთ ვარაუდებს და ვაკეთებთ დასკვნებს y =ax,  a > 1, ფუნქციის თვისებების შესახებ. შემდგომ კი, შედარების                                                                                                                    მეთოდის გამოყენებით, ვახასიათებთ y= ax  , 0  < a < 1,   ფუნქციასაც.
ეროვნული სასწავლო გეგმით განსაზღვრული მისაღწევი შედეგი/ინდიკატორები	მოსწავლე მსჯელობს კონკრეტულ საკითხებზე და წარმოადგენს საკუთარ თვალსაზრისს აუდიტორიის წინაშე.  სვამს კონკრეტულ საკითხს და ისმენს სხვების აზრს ამ საკითხთან დაკავშირებით; მსჯელობს სათანადო არგუმენტაციის მოხმობით და თანამიმდევრულად ავითარებს თავის მოსაზრებებს.            მსჯელობიდან გამოაქვს ადეკვატური დასკვნა; ისმენს ან თავად გამოთქვამს საკითხის გადაჭრის არტერნატიულ ვარიანტებს, გამოკვეთს საკუთარ თვალსაზრისს და არგუმენტებს ; რიცხვის პროცენტის გამოთვლა; ფუნქციის თვისებების გარჩევა, კერძოდ მოსწავლეს უნდა შეეძლოს ფუნქციის ზრდადობა_კლებადობის შემოწმება; საკოორდინატო ღერძებთან გრაფიკის გადაკვეთის წერტილების დადგენა; ინდუქციური მსჯელობის ელემენტარული ჩვევები; იყენებს ფუნქციებსა და მათ თვისებებს რეალური ვითარების მოდელირებისას და მის შესასწავლად  იყენებს გრაფიკულ, ალგებრულ მეთოდებს ან/და ტექნოლოგიებს ფუნქციის / ფუნქციათა ოჯახის თვისებების შესასწავლად/  იყენებს დისკრეტული მათემატიკის ცნებებსა და აპარატს მოდელირებისას და პრობლემების გადაჭრისას იყენებს გრაფიკულ, ალგებრულ მეთოდებს ან/და ტექნოლოგიებს ფუნქციის/ ფუნქციათა ოჯახის თვისებების შესასწავლად შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე: იყენებს ფუნქციის გრაფიკის გეომეტრიულ ნიშნებს (საკოორდინატო ღერძის პარალელური წრფის მიმართ სიმეტრიულობა, კოორდინატთა სათავის მიმართ ცენტრულად სიმეტრიულობა, პარალელური გადატანის მიმართ სიმეტრიულობა) ფუნქციის თვისებების დასადგენად. იყენებს შესაფერის გრაფიკულ, ალგებრულ მეთოდებს ან ტექნოლოგიებს (ტრიგონომეტრიული, უბან-უბან წრფივი, საფეხურებრივი, მაჩვენებლიანი, ლოგარითმული) ფუნქციის ისეთი თვისებების დასადგენად, როგორიცაა: ზრდადობა/კლებადობა, ნიშანმუდმივობა, პერიოდულობა/პერიოდი, ფესვები, ექსტრემუმები. აღწერს თუ რა გავლენას ახდენს ფუნქციის პარამეტრების ცვლილება ფუნქციის გრაფიკზე. დებულებების დამტკიცებისას, შესაბამის შემთხვევებში, იყენებს მათემატიკურ ინდუქციას (მათ შორის არითმეტიკულ/გეომეტრიულ პროგრესიასთან დაკავშირებული ზოგიერთი ფორმულის მისაღებად). იყენებს ხისებრ დიაგრამებს ან/და გრაფებს ვარიანტების დასათვლელად, გეგმის/განრიგის შესადგენად, ოპტიმიზაციის დისკრეტული ამოცანების ამოსახსნელად: შინაარსი 1. ტრიგონომეტრიული, უბან-უბან წრფივი, საფეხურებრივი, მაჩვენებლიანი, ლოგარითმული ფუნქციები: განსაზღვრის არე და მნიშვნელობათა სიმრავლე; ნულები, მაქსიმუმები და მინიმუმები; ზრდადობის/კლებადობის და ნიშანმუდმივობის შუალედები. 2. ფუნქციის პერიოდულობა და პერიოდი. 3. ფუნქციის გრაფიკის გეომეტრიული თვისებები. 4. წრფივი პროგრამირების ამოცანები სიბრტყეზე. 5. მათემატიკური ინდუქცია და მისი გამოყენება რეკურენტული წესით მოცემული რიცხვითი მიმდევრობის ზოგადი წევრის ფორმულის მისაღებად (მაგ. არითმეტიკული/გეომეტრიული პროგრესია). განმარტავს რთული და მარტივი პროცენტის  დარიცხვის წესს; აყალიბებს დივიდენდის ცნებას; ასახელებს  მაგალითებს ამ საკითხებზე; ანსხვავებენ ერთმანეთისაგან მოგების ნორმასა და რეალურ სარგებელს; განმარტავენ  კავშირს  ბანკებისა და შემნახველი დაწესებულებების მიერ შემთავაზებული მოგების ნორმის ცვლილებასა და  ეკონომიური პირობების ცვლილებას შორის.
თანმიმდევრობა(აქტივო ბა და დრო)	გაკვეთილი   ტარდება  კომპიუტერულ ლაბორატორიაში. მასწავლებელი წინასწარ აგვარებს საორგანიზაციო საკითხებს: 1.              კლასი დაიყოფა სამ ჯგუფად: ·         სასურველია მასწავლებელმა წინასწარ მოამზადოს სკოლასთან უახლოესი ან რაიმე სხვა ბანკის (ან ბანკების) რამდენიმე სარეკლამო პროსპექტი და სარგებლის დარიცხვის სხვადასხვა წესის აღწერა ამ თვალსაჩინო მასალის დახმარებით აწარმოოს. ·         მნიშვნელოვანია, რომ მოსწავლეებმა იგრძნონ თემის აქტუალობა. ამ შემთხვევაში მასალის გაცნობა კლასის აქტიური მონაწილეობით გაგრძელდება. ·         მოსწავლეებს წარვუდგენთ სარგებლის დარიცხვის ორ წესს _ მარტივი პროცენტის, ვთქვათ, წლიური 10% _იანი სარგებლის დარიცხვის წესსა  და  რთული პროცენტის, ვთქვათ, 9%_იანი სარგებლის წესს. ·         მოსწავლეთა უშუალო მონაწილეობით შევავსებთ ცხრილს (ვიყენებთ კალკულატორებს): ვთქვათ, ბანკში შეტანილია 100 ლარი. n n  წლის შემდეგ მიღებული სარგებელი (ლარებში) მარტივი პროცენტის დარიცხვის წესის შემთხვევაში რთული პროცენტის დარიცხვის შემთხვევაში 1 10 9 2 20 18,81 3 30 ≈ 29,50 4 40 ≈41,16    ·         ცხრილის გაანალიზების შემდეგ (მოსწავლეთა ყურადღებას ვამახვილებთ სარგებლის ზრდის განსხვავებულ ,,სიჩქარეებზე“) განვიხილავთ ზოგად შემთხვევას _ დარიცხვას   r   ნაწილით    და  ვიშველიებთ სახელმძღვანელოში მოყვანილ ცხრილს. წლები თანხა 0 P 1 P1= P (1+ r )                                                                          2                                                                                              P2= P1(1+ r )= P(1+ r ) (1+ r )= P(1+ r )2 3                                                                                  P3= P2(1+ r )= P(1+ r )2 (1+ r )= P(1+ r )3 .... ...... n                              Pn= P2(1+ r )n ამ გზით დავასკვნით _ მარტივი  პროცენტის დარიცხვის შემთხვევაში სარგებელთა მიმდევრობა (წლების მატებისას)   ქმნის არითმეტიკულ პროგრესიას, რთული პროცენტის დარიცხვის შემთხვევაში _ გეომეტრიულ პროგრესიას. ამ მიმდევრობათა   n _ური წევრის ფორმულებია, შესაბამისად,                                                                                   Pn= P(1+ r n )  და       Pn= P(1+ r ) n .         კვლავ  მოვიშველიოთ სახელმძღვანელო და გავრჩიოთ ერთ საკოორდინატო სიბრტყეზე აგებული :                                                      y= 1+x     და     y= 2x      ფუნქციათა გრაფიკები _ ვამახვილებთ მოსწავლეთა ყურადღებას:                                                y= 2 x     ფუნქციის ზრდის მაღალ ,,სიჩქარეზე“  y= 1+x      ფუნქციასთან შედარებით.  მოსწავლლები გამოთქვამენ ვარაუდს                                                                          x=  1/2                                                                               წერტილში  ამ ორი ფუნქციის მნიშვნელობათა შესახებ ( ეს წერტილი გრაფიკზე არ არის განხილული), შეადარებენ ამ მნიშვნელობებს;  იგივე კითხვის დასმა  მიზანშეწონილია   x=0    შემთხვევაშიც.    ვაზოგადებთ შემჩნეულ თვისებებს და ვიშველიებთ სახელმძღვანელოში წარმოდგენილ გრაფიკებს:        დავასკვნით:      y=ax    (a > 0,  a ≠  1)  ფუნქციას, რომელსაც მაჩვენებლიან ფუნქციას ვუწოდებთ , აქვს შემდეგი თვისებები ( დავასახელებთ მხოლოდ რამოდენიმე თვისებას) _ ა)  განსაზღვრის არეა ნამდვილ რიცხვთა   R სიმრავლე;    ბ)  მნიშვნელობათა არეა დადებით ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლე;    გ) ფუნქცია ზრდადია;   დ) ფუნქციის გრაფიკი ორდინატთა ღერძს (0; 1)  წერტილში კვეთს.   მასწავლებლის რჩევით მოსწავლეები შეადარებენ                                                                      y = 2 x    და  g = ( 1/2 ) x                                      ფუნქციებს. მოსწავლეთა პასუხებში აისახება ამ ფუნქციათა ძირითადი თვისებები. ისინი პასუხობენ  მასწეავლებლის შემდეგ   შეკითხვებზე: ·         შეადარეთ  y (0) და g(0); ·         შეადარეთ y ( x ) და g(x), როცა x > 0; ·         შეადარეთ y ( x ) და g(x), როცა x  < 0; ·         შეადარეთ y ( x ) და g(-x), არის თუ არა ამ ფუნქციათა გრაფიკები ორდინატთა ღეძის მიმართ სიმეტრიული?   მოსწავლეთა ვარაუდის განხილვისა და შემოწმების დროს მოსწავლეები დაიხმარებენ სახელძღვანელოში წარმოდგენილ გრაფიკებს    და გრაფიკებს აგებენ კომპიუტერში.                                                                      ამ შედეგების   განზოგადებით, მიიღება:  y= ax   ,   0 < a  < 1. ფუნქციის  თვისებებს: ·         ამ ფუნქციის გასაზღვრის არეა   R  სიმრავლე; ·         მნიშვნელობათა არეა დადებით ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლე; ·         ფუნქციის გრაფიკი კვეთს ორდინატთა ღერძს (0; 1) წერტილში ·         თუ X  <  0. მაშინ  y  > 1; თუ  X > 0, მაშინ   y < 1 ·         ფუნქცია კლებადია. ·         დისკუსიის დამთავრების შემდეგ მასწავლებელი ავალებს მოსწავლეებს, ინტერნეტში მოიძიონ მასალა საკითხის ირგვლივ, ანუ  ბანკის (ან ბანკების) რამდენიმე სარეკლამო პროსპექტი და სარგებლის დარიცხვის სხვადასხვა წესის აღწერა ამ თვალსაჩინო მასალის დახმარებით აწარმოონ.           ამ დავალებას მოსწავლეები წარმატებით ართმევენ თავს. ერთვება ეკონომიკის მასწავლებელი და მოსწავლეებს განუმარტავს: დივიდენდი_ არის კორპორაციის მოგების წილი, რომელსაც უხდიან აუქციონერებს.     ბანკების ანგარიშების უმრავლესობა მეანაბრეებს   რთული პროცენტის   დარიცხვას სთავაზობს, რთული პროცენტი_  ეს არის სარგებელი, გამოთვლილ ანგარიშზე მოთავსებული თქვენი ანაბრის თანხიდან (თავნიდან), პლუს დროის თანაბარი ინტერვალების შემდეგ დარიცხული სარგებელი, თუ, რა თქმა უნდა, მას ანგარიშზე დატოვებთ. დავუშვათ, დღეს  ანგარიშზე შეგაქვთ1000 დოლარი და ღებულობთ წლიურ     5_პროცენტიან სარგებელს. ასეთ შემთხვევაში, წლის ბოლოსსათვის ანგარიშზე 1050 დოლარიგექნებათ. შემდეგი წლის განმავლობაში კი თქვენ მიიღებთ სარგებელს  თქვენი თავდაპირველი  1000 დოლარიდან და იმ 50_ დოლარიანი სარგებლიდან, რომელიც თქვენ პირველ წელს დაგერიცხათ. ორი წლის თავზე თქვენი თავდაპირველი 1000_დოლარიანი  დანაზოგი გაიზრდება, ანუ  სარგებელი  დაერიცხება და 1   102,50  დოლარი გახდება.      ბანკებისა და შემნახველი დაწესებულებების მიერ შემოთავაზებული მოგების ნორმა იცვლება ეკონომიკური პირობებისა და იმის მიხედვით, რა დროით იბარებენ ისინი თქვენს ფულს. რაც უფრო დიდი ხნით  ათავსებთ  თანხას  შემნახველ   დეპოზიტზე, მით უფრო დიდია ეს ნორმა. საჭიროა, აგრეთვე, ერთმანეთისაგან განვასხვავოთ მოგების ნორმა და რეალური სარგებელი_ მიღებული პროცენტის რეალური რაოდენობა. რეალური სარგებელი დამოკიდებულია პროცენტის დარიცხვის სიხშირეზე. თუ თქვენს ფულს პროცენტი ყოველკვარტალურად (წელიწადში ოთხჯერ) ერიცხება, იგი უფრო სწრაფად  გაიზრდება, ვიდრე იმ შემთხვევაში, თუ მას  პროცენტი მხოლოდ წელიწადში ერთხელ ერიცხება.    თქვენ ჯერ საკმაოდ ახალგაზრდა ხართ და შეგიძლიათ მშვიდად დაელოდოთ, სანამ რთული პროცენტი, წლების განმავლობაში, თქვენს სიმდიდრეს მნიშვნელოვნად არ გაზრდის. ნახაზი , რომელიც   პროექტორზეა   წარმოდგენილი   სწორედ ამის ილუსტრაციაა. იგი გვიჩვენებს,  როგორ გაიზრდებოდა თვენი სიმდიდრე, დღეში 1 დოლარს რომ ზოგავდეთ და წელიწადში 8% _ს იღებდეთ, სარგებლის ყოველდღიური  დარიცხვით. 60 წლის შემდეგ თქვენ 540 000  დოლარზე მეტი გექნებოდათ დაგროვებული! რა თქმა უნდა, უფრო მაღალი საპროცენტო განაკვეთი აძლიერებს პროცენტის დარიცხვის ეფექტს. მაგალითად, 10_პროცენტიანი წლიური საპროცენტო განაკვეტის დროს, 60 წლის თავზე 1.4 მილიონ დოლარზე მეტი გექნებოდათ დაგროვებული. აქტივობის გაფართოება_ გაღრმავება:  მიღებული ინფორმაციის განმტკიცებისა და გამოყენების ჩვევების გამომუშავების მიზნით სასურველია მოსწავლეები გაეცნონ    ს   ( ,,სხვადასხვა“ ) ნაწილში მოწოდებულ მასალას, უპასუხონ საკონტროლო კითხვებს და შეასრულონ შეთავაზებული სავარჯიშოები, რომელთა ოდენობა  ამჯერად დიდია.   სასურველია მოსწავლეთა ნაწილი მაინც დაკავდეს პარაგრაფის ბოლოს მოცემულ თემაზე პროექტის  (რეფერატის)  მომზადებით.
შეფასება	მოცემული აქტივობა ერთ_ერთი საკვანძო ეტაპია მოსწავლეთა მათემატიკური განათლების გზაზე.    ამ ფუნქციების შესწავლით მოსწავლეები მნიშვნელოვან გამოცდილებას იძენენ, საზოგადოდ, ფუნქციათა შესწავლა_გამოკვლევის რეალიზებაში. ამ აქტივობას, წმინდა თეორიული   მნიშვნელობის გარდა, უაღრესად აქტუალური გამოყენებითი მხარეც აქვს. ეს ფაქტორი   განსაკუთრებით მნიშვნელოვნად მიგვაჩნია. გაკვეთილის დასასრულს მოსწავლეებს თვითშეფასებისათვის ურიგდებათ  შეფასების ანკეტები ( სქემის სახით).                        შეფასების ანკეტა   1. სახელი:    2. გვარი:    3. რამდენად აქტიური იყავით დღეს გაკვეთილზე? 4. აქტიური ნაკლებად აქტიური პასიური როგორ შეაფასებდით საკუთარ თავს ჯგუფის მუშაობაში? როგორ შეაფასებდით მთელი ჯგუფის მუშაობას? 5. რა იყო ამ გაკვეთილზე თქვენთვის ყველაზე მნიშვნელოვანი და რატომ ? ამის შემდეგ მასწავლებელი მოსწავლეთა მიერ  თვითშეფასებისა და საკუთარი დაკვირვების შეჯერების საფუძველზე ახდენს მოსწავლეთა საბოლოო შეფასებას,
საკლასო მენეჯმენტი/საგანათლებ- ლო რესურსები	კომპიუტერი, პროექტორი, ციფრული ფოტოაპარატი, ვიდეო კამერა. საიტები:  www.google.net www.google.com www.interes.ge www.wikipedia